[CUGB2017]I.筋の数学

Problem

大意:
已知函数
Pi(x)=a_{1}+a_{2}x^{1}+\cdots+a_{n+1}x^{n}, i \in [1, n+1] ,且对于任意的整数 i \in [1, n+1] 都有 Pi(i) = \frac{1}{i},求 Pi(n+2) 的值。

Input

第一行为一个正整数 t (t \leqslant 100),代表有 t 组数据。
接下来 t 行,每行输入一个正整数 n (1 \leqslant n \leqslant 1000)

Solution

已知原式 Pi(x)=a_{1}+a_{2}x^{1}+\cdots+a_{n+1}x^{n}, i \in [1, n+1]
又知,对于任意的整数 i \in [1, n+1] 都有 Pi(i) = \frac{1}{i},可得 iPi(i)=1
构建新函数,
f(x)=xPi(x)-1=x(a_{1}+a_{2}x^{1}+\cdots+a_{n+1}x^{n})-1\\=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x-1\\=k(x-1)(x-2)\cdots[x-(n+1)]
k 为未知实数)
所以
-1=k(-1)(-2)\cdots[-(n+1)]\\=(-1)^{n+1}k(n+1)!
所以k=\frac{1}{(-1)^{n}(n+1)!}
所以xPi(x)-1=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}(x-1)(x-2)\cdots[x-(n+1)]
代入 n+2
xPi(x)-1=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}(n+1)\cdots1\\=(n+2)Pi(n+2)-1=(-1)^{n}
Pi(n+2)=\frac{1+(-1)^{n}}{n+2}