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H.凉凉 | 2018 校内选拔赛

Description

这道题难还是不难被nil的原子核「凉凉」所控制。如果原子核「凉凉」发生衰变,放出了\alpha粒子,改变了后台的测评数据,即使题面看起来很简单,仍会使该题变为一道超级难题,很难Accpeted。然而,原子核「凉凉」的衰变是随机事件,连nil也只能精确知道半衰期——衰变一半所需要的时间。如果一种放射性元素的半衰期是一天,则过一天,该元素就少了一半,再过一天,就少了剩下的一半。我们无法知道,它在什么时候衰变,上午,还是下午。如果不提交代码解决这道题,这道题可能难,也可能简单,这也被称作这道题的两种本征态。如果我们用薛定谔方程来描述这道题的状态,则只能说,这道题处于一种难与不难的叠加态。我们只有在 Accpeted 的一瞬间,才能确切地知道这道题是难是简单。此时,这道题构成的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。量子理论认为:如果没Accpeted,我们永远也不知道这道题是难还是简单,它将永远处于半难不难的叠加态,可这使微观不确定原理变成了宏观不确定原理,客观规律不以人的意志为转移,这道题既简单又难违背了逻辑思维。定态薛定谔方程如下所示:-\frac{\hbar}{2\mu }\bigtriangledown^{2}\Psi + U\Psi =  E\Psi
是一个非相对论的波动方程,反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为\Psi(r,t),质量为$m$的微观粒子在势场V(r,t)中运动的薛定谔方程。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数\Psi(r,t)。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数V不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中\Psi(r)称为定态波函数,满足定态薛定谔方程,这一方程在数学上称为本征方程,式中$E$为本征值,是定态能量,\Psi(r)称为属于本征值E的本征函数。

在一次提交后,评测机返回了结果「Accepted」,你赶忙去询问nil此时「凉凉」所剩的部分与原有大小的关系。nil作为「凉凉」的掌控者,清楚地知道此时「凉凉」的状态,并且好心告诉你了「凉凉」的半衰期,请问「凉凉」经过了几个半衰期?

Input

输入包含多行,每行包含一个分数与一个正整数,分别代表此时「凉凉」所剩部分占原有的大小以及其半衰期的长度L(1 <= L <= 10^9)。
其中分数的形式为「1/d」,其中d代表正整数(1 <= d <= 10^18)。

Output

输出n m,代表「凉凉」经历了n个半衰期,总时长为m。

Sample Input

1/2 1

Sample Output

1 1

Hint

题面放烟雾弹的签到题
即对于一个 \frac{1}{2^{n}},求出 n 并计算 nL 的值。
注意数据范围
注意有多行输入数据

题解

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int main()
{
    long long a, b, l;
    while(~scanf("%lld/%lld %lld", &a, &b, &l))
    {
        long long sum = 0;
        while (b > 1 && b % 2 == 0)
        {
            sum++;
            b /= 2;
        }   
        printf("%lld %lld\n", sum, sum * l);
    }   
    return 0;
}

[CUGB2017]I.筋の数学

Problem

大意:
已知函数
Pi(x)=a_{1}+a_{2}x^{1}+\cdots+a_{n+1}x^{n}, i \in [1, n+1] ,且对于任意的整数 i \in [1, n+1] 都有 Pi(i) = \frac{1}{i},求 Pi(n+2) 的值。

Input

第一行为一个正整数 t (t \leqslant 100),代表有 t 组数据。
接下来 t 行,每行输入一个正整数 n (1 \leqslant n \leqslant 1000)

Solution

已知原式 Pi(x)=a_{1}+a_{2}x^{1}+\cdots+a_{n+1}x^{n}, i \in [1, n+1]
又知,对于任意的整数 i \in [1, n+1] 都有 Pi(i) = \frac{1}{i},可得 iPi(i)=1
构建新函数,
f(x)=xPi(x)-1=x(a_{1}+a_{2}x^{1}+\cdots+a_{n+1}x^{n})-1\\=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x-1\\=k(x-1)(x-2)\cdots[x-(n+1)]
k 为未知实数)
所以
-1=k(-1)(-2)\cdots[-(n+1)]\\=(-1)^{n+1}k(n+1)!
所以k=\frac{1}{(-1)^{n}(n+1)!}
所以xPi(x)-1=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}(x-1)(x-2)\cdots[x-(n+1)]
代入 n+2
xPi(x)-1=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}(n+1)\cdots1\\=(n+2)Pi(n+2)-1=(-1)^{n}
Pi(n+2)=\frac{1+(-1)^{n}}{n+2}