浅析并查集

写在前面

紫苑镇(シオンタウン ,Lavender Town),是关都地区的一个小镇。赤绿青黄与火红叶绿中,紫苑镇是座著名的鬼镇,镇上的神奇宝贝塔是集中安葬故去的口袋妖怪的场所。不过在金银水晶与新金魂银里,紫苑镇上建起了收讯塔,现代化的气息浓郁起来。

据镇里的居民介绍,紫苑镇是著名的精灵墓地。所有的安葬悼亡活动都在镇上的口袋妖怪塔进行。作为一座中型城镇,它镇民大多是在口袋妖怪塔周围长大,相信灵魂的存在并有着很深的宗教信仰,常去塔中祭拜,祈祷口袋妖怪们平安幸福。紫苑镇人口数量不多的原因可能在于镇里没有道馆,所以训练家不会在此多作停留,但也有些人会为了纪念他们死去的口袋妖怪而留在镇上。

为了改善居民的生活质量,我们的训练家HJWJBSR,将对紫苑镇的地下排污管道进行重修。按照地图规划,他将使得所有房屋都被管道联通(即每个房屋至少有一条排污管道相连)。
我们的训练家HSH还需要修几条路,就能使所有的房屋都能顺利的排出污水呢?

怎么感觉这题目跟并查集没点关系..

概念

并查集是一个可以确认节点是否属于同一根的树状结构,即判断多个节点之间的亲属关系。

理解

引用laserss的一段文字。
话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。
并查集
下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。

int find(int x)//查找我(x)的掌门
{
    int r=x;//委托 r 去找掌门
    while (pre[r ]!=r)//如果r的上级不是r自己(也就是说找到的大侠他不是掌门 = =)
    r=pre[r];//r 就接着找他的上级,直到找到掌门为止。
    return r;//掌门驾到~~~
}

再来看看join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢? 还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧?

void join(int x,int y)//我想让虚竹和周芷若做朋友
{
    int fx=find(x),fy=find(y);//虚竹的老大是玄慈,芷若MM的老大是灭绝
    if(fx!=fy)//玄慈和灭绝显然不是同一个人
    pre[fx ]=fy;//方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦
}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样,也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。

设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂也没关系,直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

举个例子

从前有个Life Winner,ItSukaShido。有一天,他遇见了她,他对她一见钟情,她对他却并无回忆。为了讨好Zuhang Chen(陈紫涵),Shido必须与她搭讪。那么问题来了,我们怎么知道他和她是否是同一所高中的学生呢?

再举个例子

几年后,如圣经中的Adam和Eve一般,ItSukaShido和Zuhang Chen诞生了爱的结晶。但是,无数宗代相传,孩子们早已忘记了自己的祖先的名字。那么,为了帮助这些孩子,我们只需要以O(n-1)的时间,从前之后,顺着生命的延续,告诉他们祖先的名字——Shido。然后他们的父亲都变成Shido了…(路径压缩)

听说的样题

/* 显然我并没有做过 */
HDU 2094 产生冠军
HDU 1213 How Many Tables
POJ 1611 The Suspects 裸题
POJ 2524 Ubiquitous Religions 裸题
POJ 1182 食物链 扩展
POJ 2492 A Bug’s Life 扩展
POJ 1861 Network 并查集+最小生成树
POJ 1703 Find them, Catch them 扩展
POJ 2236 Wireless Network 应用题
POJ 1988 Cube Stacking 应用题
POJ 2912 Rochambeau 难题
POJ 1733 Parity game 难题
POJ 1308 Is It A Tree? 难题

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